Question

16．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使DE=CD，若點P是以點A為圓心，AB為半徑的圓�。ú怀�出正方形）上的任一點，設向量$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，則λ+μ的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標系．不妨設$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），$\overrightarrow{AP}$=（cosθ，sinθ），利用向量$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，可得λ+μ=2sinθ+cosθ，再利用兩角和差的正弦公式及其有界性即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．
不妨設$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），
$\overrightarrow{AP}$=（cosθ，sinθ），
∵向量$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$，
∴（cosθ，sinθ）=λ（1，0）+μ（-1，1）=（λ-μ，μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-μ=cosθ}\\{μ=sinθ}\end{array}\right.$．θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
當$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$時，λ=1，μ=0，此時λ+μ取得最小值，最小值是1．
故答案為：1．

點評 本題考查了向量的坐標運算、兩角和差的正弦公式及其有界性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于中檔題．