Question

11．已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，求a取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最小值為0，且當x≥0時，f（x）≤kx²，求k的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)的定義域，紅絲帶導(dǎo)數(shù)，求出極值點，利用函數(shù)的單調(diào)性求解a的范圍．
（II）由（I）知，求出f（x）_min時的a值，利用條件當x≥0時f（x）≤kx²，轉(zhuǎn)化為當x≥0時，x-ln（x+1）≤kx²成立，當k≤0時，當k＞0時，分別判斷求解．（1）當$k≥\frac{1}{2}$時，（2）當$0＜k＜\frac{1}{2}$時，利用函數(shù)的單調(diào)性推出K的范圍．

解答 解：（I）函數(shù)的定義域為（-a，+∞）．$f'（x）=\frac{x+a-1}{x+a}（x＞-a）$，…（1分）
由f'（x）=0⇒x=1-a，
因為函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．
所以1-a≤0，從而a≥1…（4分）
（II）由（I）知，函數(shù)f（x）在（-a，1-a）為減函數(shù)，在（1-a，+∞）為增函數(shù)．
所以f（x）_min=f（1-a）=1-a=0得a=1…（6分）
所以當x≥0時f（x）≤kx²即是當x≥0時，x-ln（x+1）≤kx²成立
當k≤0時，因為f（1）=1-ln2＞0所以k≤0不合題意…（7分）
當k＞0時，令g（x）=f（x）-kx²=x-ln（x+1）-kx²（x≥0）$g'（x）=\frac{-x[2kx-（1-2k）]}{x+1}$，
令g'（x）=0得${x_1}=0，{x_2}=\frac{1}{2k}-1＞-1$…（8分）
（1）當$k≥\frac{1}{2}$時，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
于是g（x）≤g（0）=0成立．所以$k≥\frac{1}{2}$適合題意…（10分）
（2）當$0＜k＜\frac{1}{2}$時，g（x）在$（0，\frac{1}{2k}-1）$單調(diào)遞增，
所以當$x∈（0，\frac{1}{2k}-1）$時，g（x）＞g（0）=0，
故$0＜k＜\frac{1}{2}$不合題意．綜上：$k≥\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．