分析 (1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(2)根據(jù)好是單調(diào)性的定義和性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論.
(3)根據(jù)條件求出c的取值范圍,即可得到結(jié)論.
解答 解:(1)$h(x)=\frac{{{x^2}+bx+c}}{2x+b}$,設(shè)$h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$的定義域為D,
∵h(yuǎn)(x)為奇函數(shù),∴對于任意x∈D,h(-x)=-h(x)成立.…(1分)
即:$\frac{{{x^2}-bx+c}}{-2x+b}=-\frac{{{x^2}+bx+c}}{2x+b}$化簡得:bx2-bc=0…(3分)
因?qū)τ谌我鈞∈D都成立,
∴$\left\{{\begin{array}{l}{b=0}\\{bc=0}\end{array}}\right.$,
即b=0,c∈R…(4分)
(2)由(1)知b=0,∴$h(x)=\frac{1}{2}x+\frac{c}{2x}$…(5分)
∵h(yuǎn)(x)在[2,+∞)上為增函數(shù),
∴任取2≤x1<x2時,$f({x_2})-f({x_1})=\frac{1}{2}({x_2}-{x_1})(1-\frac{c}{{{x_1}{x_2}}})>0$恒成立.…(6分)
即任取2≤x1<x2時,1-$\frac{c}{{x}_{1}{x}_{2}}$>0成立,
也就是c<x1x2成立. …(8分)
∴c≤4,即c的取值范圍是(-∞,4]. …(10分)
(3)因為任意的x∈R恒有f(x)≤g(x)成立,
所以對任意的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,
即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立.…(11分)
所以判別式△=(b-2)2-4(c-b)≤0,
從而c≥$\frac{^{2}+1}{4}$,
∴c≥1,且c$≥2\sqrt{\frac{^{2}}{4}×1}$=|b|,…(13分)
因此 c(c-1)≥0且2c-b=c+(c-b)>0.…(14分)
故當(dāng)x≥0時,有(x+c)2-g(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.…(15分)
即當(dāng)x≥0時,g(x)≤(x+c)2成立.…(16分)
點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義和單調(diào)性的應(yīng)用,利用定義法是解決本題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | $6\sqrt{2}$ | B. | 6 | C. | $3\sqrt{2}$ | D. | 3 |
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