Question

2．在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$．
（1）設A（$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是曲線C的上，下焦點，求經(jīng)過點F₁且垂直于直線AF₂的直線m的參數(shù)方程．
（2）已知點P的極坐標為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），設直線l與曲線C的兩個交點為M，N，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用sin²φ+cos²φ=1，可得直角坐標方程，可得F₁，F(xiàn)₂．可得${k}_{A{F}_{2}}$，可得直線AF₂的直線m的斜率，即可得出經(jīng)過點F₁且垂直于直線AF₂的直線m的參數(shù)方程．
（2）點P的極坐標為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標P$（0，\sqrt{3}）$．直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展開為2ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標方程．可得參數(shù)方程．代入橢圓方程利用|PM|•|PN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1，可得F₁（0，$\sqrt{10}$），F(xiàn)₂（0，-$\sqrt{10}$）．
∴${k}_{A{F}_{2}}$=$\sqrt{2}$，∴直線AF₂的直線m的斜率為$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴經(jīng)過點F₁且垂直于直線AF₂的直線m的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\sqrt{10}+\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$．（t為參數(shù)）．
（2）點P的極坐標為（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標P$（0，\sqrt{3}）$．
直線l的極坐標方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展開為2ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$，化為$\sqrt{3}x+y$=$\sqrt{3}$．
可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
代入橢圓方程可得：t²-2t-8=0，
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=8．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程的應用、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．