2.在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$(φ為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos(θ-\frac{π}{6})}$.
(1)設(shè)A($\sqrt{5}$,0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是曲線C的上,下焦點(diǎn),求經(jīng)過點(diǎn)F1且垂直于直線AF2的直線m的參數(shù)方程.
(2)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為($\sqrt{3}$,$\frac{π}{2}$),設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為M,N,求|PM|•|PN|的值.

分析 (1)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$(φ為參數(shù)),利用sin2φ+cos2φ=1,可得直角坐標(biāo)方程,可得F1,F(xiàn)2.可得${k}_{A{F}_{2}}$,可得直線AF2的直線m的斜率,即可得出經(jīng)過點(diǎn)F1且垂直于直線AF2的直線m的參數(shù)方程.
(2)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為($\sqrt{3}$,$\frac{π}{2}$),化為直角坐標(biāo)P$(0,\sqrt{3})$.直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos(θ-\frac{π}{6})}$,展開為2ρ$(\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ)$,利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐標(biāo)方程.可得參數(shù)方程.代入橢圓方程利用|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出.

解答 解:(1)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$(φ為參數(shù)),化為$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1,可得F1(0,$\sqrt{10}$),F(xiàn)2(0,-$\sqrt{10}$).
∴${k}_{A{F}_{2}}$=$\sqrt{2}$,∴直線AF2的直線m的斜率為$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴經(jīng)過點(diǎn)F1且垂直于直線AF2的直線m的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\sqrt{10}+\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$.(t為參數(shù)).
(2)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為($\sqrt{3}$,$\frac{π}{2}$),化為直角坐標(biāo)P$(0,\sqrt{3})$.
直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos(θ-\frac{π}{6})}$,展開為2ρ$(\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ)$,化為$\sqrt{3}x+y$=$\sqrt{3}$.
可得參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).
代入橢圓方程可得:t2-2t-8=0,
∴|PM|•|PN|=|t1t2|=8.

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與橢圓相交弦長問題,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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12.給出下列四個(gè)命題:
(1)若a>b,c>d,則a-d>b-c;
(2)若a2x>a2y,則x>y;
(3)a>b,則$\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$;
(4)若$\frac{1}{a}<\frac{1}<0$,則ab<b2
其中正確命題是(1)(2)(4).(填所有正確命題的序號)

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13.下列命題為真命題的是( 。
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B.雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=-1的焦點(diǎn)在x軸上
C.?x∈R,sinx+cosx=$\frac{7}{5}$
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10.f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=2016x+log2016x,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3.

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C.f(x)=lnex與g(x)=elnxD.f(x)=$\frac{{x}^{2}-4}{x+2}$ 與g(x)=x-2

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(1)如果h(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)b、c滿足的條件;
(2)在(1)的條件下,若函數(shù)h(x)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求c的取值范圍;
(3)若對任意的x∈R恒有f(x)≤g(x)成立.證明:當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≤(x+c)2成立.

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14.已知函數(shù)$f(x)=4x+\frac{a}{x}+b$,(a,b∈R)為奇函數(shù).
(1)求b值;
(2)當(dāng)a=-2時(shí),存在x0∈[1,4]使得不等式f(x0)≤t成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)當(dāng)a≥1時(shí),求證:函數(shù)g(x)=f(2x)-c(c∈R)在區(qū)間(-∞,-1]上至多有一個(gè)零點(diǎn).

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11.若圓的方程為x2+2x+y2+4y-4=0,則該圓的圓心坐標(biāo)為(-1,-2).

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