Question

11．已知在菱形ABCD中，對角線BD=4，E為AD的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． 12
• B． 14
• C． 10
• D． 8

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)向量加法和數(shù)乘的幾何意義可以得出$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BD}+\frac{1}{4}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}）$，這樣進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{BE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}=0，|\overrightarrow{BD}|=4$，從而帶入$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BD}$進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如圖，
根據(jù)條件：
$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{BD}=（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}）•\overrightarrow{BD}$
=$（\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}）•\overrightarrow{BD}$
=$[\overrightarrow{BD}+\frac{1}{4}（\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CA}）]•\overrightarrow{BD}$
=$（\frac{3}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}）•\overrightarrow{BD}$
=$\frac{3}{4}{\overrightarrow{BD}}^{2}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$
=$\frac{3}{4}×16+0$
=12．
故選A．

點(diǎn)評 考查向量加法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式，以及菱形對角線互相垂直，向量垂直的充要條件．