Question

7．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長AB=2，M，N，P分別是C₁C，BC₁，C₁D₁的中點．
（1）直線A₁C₁交PN于點E，直線AC₁交平面MNP于點F，求證：M，E，F(xiàn)三點共線．
（2）求三棱錐D-MNP的體積．

Answer 1

分析 （1）利用公理3證明ME為平面AA₁C₁C與平面PMN的交線，進一步證明F在兩面的交線上得M，E，F(xiàn)三點共線．
（2）利用等積法把三棱錐D-MNP的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐N-DMP的條件求解．

解答 證明：（1）∵A₁C₁∩PN=E，
∴E∈A₁C₁，E∈PN，則E∈平面AA₁C₁C，E∈平面MPN
又∵M∈CC₁，
∴M∈平面AA₁C₁C，
又M∈平面PMN，
∴平面AA₁C₁C∩平面PMN=ME，
∵AC₁∩平面MPN=F，
∴F∈平面PMN，F(xiàn)∈平面AA₁C₁C，
∴點F在直線ME上，則M，E，F(xiàn)三點共線．
解：（2）${V}_{D-MNP}={V}_{N-MDP}=\frac{1}{3}{S}_{△MDP}•N{C}_{1}$，
又${S}_{△MDP}=2×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×2×1=\frac{3}{2}$，
∴${V}_{D-MNP}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×1=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面的基本性質(zhì)即推論，考查了利用等積法求三棱錐的體積，是中檔題．