Question

14．經過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線相交于M，N兩點，若|MN|=$\frac{4a}{3}$，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． 2或 $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據直線垂直的等價條件求出直線方程，利用方程組法求出交點坐標，利用兩點間的距離公式進行求解即可．

解答 解：雙曲線的右焦點F（c，0），雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
則過F與y=$\frac{a}$x垂直的直線的斜率k=-$\frac{a}$，
則對應的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}}\\{y=-\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}}\end{array}\right.$，即N（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
∵|MN|=$\frac{4a}{3}$，
∴|MN|²=$\frac{16}{9}$a²，
即（$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$）+（$\frac{ab}{c}$+$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$）²=$\frac{16}{9}$a²，
整理得$\frac{{c}^{4}}{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}$=$\frac{{c}^{4}}{（2{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}$=$\frac{25}{9}$，
即$\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{5}{3}$或$\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}-{c}^{2}}$=-$\frac{5}{3}$，
即8c²=10a²或10a²=2c²，
則e²=$\frac{5}{4}$或e²=5，
則e=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$，
故選：B

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據方程組求出交點坐標，利用距離公式是解決本題的關鍵．運算量較大，考查學生的計算能力．