Question

14．經(jīng)過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=$\frac{4a}{3}$，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． 2或 $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件求出直線方程，利用方程組法求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0），雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
則過(guò)F與y=$\frac{a}$x垂直的直線的斜率k=-$\frac{a}$，
則對(duì)應(yīng)的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}}\\{y=-\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}}\end{array}\right.$，即N（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
∵|MN|=$\frac{4a}{3}$，
∴|MN|²=$\frac{16}{9}$a²，
即（$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$）+（$\frac{ab}{c}$+$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$）²=$\frac{16}{9}$a²，
整理得$\frac{{c}^{4}}{（{a}^{2}-^{2}）^{2}}$=$\frac{{c}^{4}}{（2{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}$=$\frac{25}{9}$，
即$\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{5}{3}$或$\frac{{c}^{2}}{2{a}^{2}-{c}^{2}}$=-$\frac{5}{3}$，
即8c²=10a²或10a²=2c²，
則e²=$\frac{5}{4}$或e²=5，
則e=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用距離公式是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的計(jì)算能力．