Question

4．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，以右頂點為圓心，以c為半徑的圓與雙曲線右支的交點橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$a，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 利用垂徑定理計算交點縱坐標(biāo)，把交點坐標(biāo)代入雙曲線方程得出a，b，c的關(guān)系，從而得出離心率e=$\frac{c}{a}$的大小/

解答 解：設(shè)雙曲線的右頂點為A，雙曲線與圓在第一象限內(nèi)的交點為P，則PA=c，
∴P點縱坐標(biāo)為$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$，
把P（$\frac{3a}{2}$，$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$）代入雙曲線方程得：$\frac{9}{4}$-$\frac{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}{^{2}}$=1．
∵b²=c²-a²，∴$\frac{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，化簡得c=2a．
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故選：D．

點評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．