Question

1．已知M（3，y₀）（y₀＞0）為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，且|MF|=5．
（1）求拋物線C方程；
（2）MF的延長線交拋物線于另一點(diǎn)N，求N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用|MF|=3+$\frac{p}{2}$=5，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)MF所在直線的方程，并與拋物線C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵|MF|=3+$\frac{p}{2}$=5，∴p=4，
∴拋物線C方程為：y²=8x；
（2）∵M(jìn)F不垂直于x軸，故可設(shè)MF所在直線的方程為：y=k（x-2），
與拋物線C的方程聯(lián)立，可得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
由韋達(dá)定理可知：x_Mx_N=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}}$=4，
∵x_M=3，∴x_N=$\frac{4}{3}$，
∵N為MF的延長線與拋物線的交點(diǎn)，
由圖象可知y_N＜0，
∴y_N=-$\sqrt{2p{x}_{N}}$=-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴N（$\frac{4}{3}$，-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查求拋物線的方程、求點(diǎn)的坐標(biāo)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．