Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，F₁，F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，B，C分別為橢圓上、下頂點，直線BF₂與橢圓的另一個交點為D，若tan∠F₁BO=$\frac{3}{4}$，則直線CD的斜率為$\frac{12}{25}$．

Answer 1

分析 由正切函數的意義，可得3b=4c，可設b=4t，c=3t，a=5t，設出D的坐標，代入橢圓方程，求得k_BD•k_CD=$\frac{n-b}{m}$•$\frac{n+b}{m}$=-$\frac{16}{25}$，運用直線的斜率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：tan∠F₁BO=$\frac{3}{4}$，可得$\frac{c}$=$\frac{3}{4}$，
可設b=4t，c=3t，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=5t，
設D（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即為$\frac{{n}^{2}-^{2}}{{m}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
B（0，b），C（0，-b），
即有k_BD•k_CD=$\frac{n-b}{m}$•$\frac{n+b}{m}$=$\frac{{n}^{2}-^{2}}{{m}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{16}{25}$，
由k_BD=${k}_{B{F}_{2}}$=$\frac{-c}$=-$\frac{4}{3}$，
即有k_CD=$\frac{12}{25}$．
故答案為：$\frac{12}{25}$．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，同時考查直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．