Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），右頂點(diǎn)為M（$\sqrt{2}$，0）．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（2，0），點(diǎn)A是已知橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，直線PA交橢圓于另一個(gè)不同的點(diǎn)B（不考慮直線PA的斜率為0的情形）．問：直線BC是否一定經(jīng)過右焦點(diǎn)F？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，便可求出a，b，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）可設(shè)A（x₀，y₀），從而有C（x₀，-y₀），這樣即可得出直線PA的方程，而聯(lián)立橢圓方程消去y便可得到$[1+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}]{x}^{2}-\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}x+\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}-2=0$，由韋達(dá)定理即可求出x_B，從而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，由B，C坐標(biāo)即可寫出直線BC方程為$\frac{x-{x}_{0}}{4-6{x}_{0}+2{{x}_{0}}^{2}}=\frac{y+{y}_{0}}{4{y}_{0}-2{x}_{0}{y}_{0}}$，令y=0便可求出x=1，從而得出直線BC一定經(jīng)過右焦點(diǎn)F．

解答 解：（1）根據(jù)條件a=$\sqrt{2}$，c=1，∴b=1；
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）如圖，設(shè)A（x₀，y₀），則C（x₀，-y₀）；

∴直線PA的斜率為$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$；
∴直線PA的方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，帶入橢圓方程消去y得：
$[1+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}]{x}^{2}-\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}x+\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}-2=0$；
∴${x}_{0}{x}_{B}=\frac{\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}-2}{1+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}}=\frac{4{x}_{0}-3{{x}_{0}}^{2}}{3-2{x}_{0}}$；
∴${x}_{B}=\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，帶入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$得：${{y}_{B}}^{2}=1-\frac{{{x}_{B}}^{2}}{2}$=$1-\frac{（\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}）^{2}}{2}=\frac{2-{{x}_{0}}^{2}}{2（3-2{x}_{0}）^{2}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{（3-2{x}_{0}）^{2}}$；
∴${y}_{B}=\frac{{y}_{0}}{3-2{x}_{0}}$；
∴$B（\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}，\frac{{y}_{0}}{3-2{x}_{0}}）$，又C（x₀，-y₀）；
∴BC方程為$\frac{x-{x}_{0}}{\frac{4-3{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}-{x}_{0}}=\frac{y+{y}_{0}}{\frac{{y}_{0}}{3-2{x}_{0}}+{y}_{0}}$；
∴$\frac{x-{x}_{0}}{4-6{x}_{0}+2{{x}_{0}}^{2}}=\frac{y+{y}_{0}}{4{y}_{0}-2{x}_{0}{y}_{0}}$，令y=0得：$\frac{x-{x}_{0}}{4-6{x}_{0}+2{{x}_{0}}^{2}}=\frac{1}{4-2{x}_{0}}$；
∴x=1；
即直線BC與x軸交點(diǎn)為（1，0），該點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)F；
∴直線BC一定經(jīng)過右焦點(diǎn)F．

點(diǎn)評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，以及由兩點(diǎn)求直線的斜率，直線的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程，韋達(dá)定理，根據(jù)直線方程求直線和x軸的交點(diǎn)的方法．