Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過點（-2a，0）作橢圓的切線l．
（1）求切線l的斜率；
（2）平行移動直線l（移動過程中不過坐際原點），設移動后的直線與橢圓交于不同兩點A，B，點B關于原點對稱的點為C，若△ABC面積的最大值是2$\sqrt{3}$，求橢圓方程和平移后的直線方程．

Answer 1

分析 （1）通過設切線l的方程為x=ky-2a，結合離心率，并與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0計算即得結論；
（2）通過不妨設平行移動后直線l方程為y=2x+m，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、兩點間距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積公式，結合配方法計算即得結論．

解答 解：（1）依題意，設切線l的方程為：x=ky-2a，
∵e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，a²=4c²，b²=3c²，
聯(lián)立切線l與橢圓方程，得：3（ky-2a）²+4y²=12c²，
化簡得：（3k²+4）y²-12aky+12a²-12c²=0，
令△=（12ak）²-4（3k²+4）×12b²=0，整理得：k²=$\frac{4^{2}}{3{c}^{2}}$=4，
∴切線1的斜率為±$\frac{1}{2}$；
（2）依題意，不妨設平行移動后直線l方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m，
則點O到直線AB的距離d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m，
將y=$\frac{1}{2}$x+m代入$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，整理得：x²+mx+m²-3c²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3c²，
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁x₂=m²-4•（m²-3c²）=12c²-3m²，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{12{c}^{2}-3{m}^{2}}$，
∵S_△ABC=2S_△OAB=AB•d=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{12{c}^{2}-3{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m
=$\sqrt{3}$•$\sqrt{-（{m}^{2}-2{c}^{2}）^{2}+4{c}^{4}}$
≤2$\sqrt{3}$c²，當且僅當m²=2c²時取等號，
∴2$\sqrt{3}$c²=2$\sqrt{3}$，即c²=1，
∴m²=2，即m=±$\sqrt{2}$，
此時平移后的直線方程為：y=$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
同理可知平移后的直線方程還可以為：y=-$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
綜上所述，直線方程為y=$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$、y=-$\frac{1}{2}$x±$\sqrt{2}$，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．