Question

5．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為B，∠F₁BF₂=60°，橢圓C的長軸長為4．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求出△OMN的面積的最大值，判斷△OMN面積最大時OM²+ON²是否為一定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的性質(zhì)：焦點(diǎn)和頂點(diǎn)為a，以及正三角形的性質(zhì)，可得a=2c=2，解得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)M（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），N（2cosβ，$\sqrt{3}$sinβ），運(yùn)用向量表示△MON的面積，再由三角函數(shù)的恒等變換，化簡可得△MON的面積的最大值，求出此時α、β的關(guān)系，再由兩點(diǎn)的距離公式和同角的平方關(guān)系，化簡可得定值．

解答 解：（1）|F₁B|=|F₂B|=a，又∠F₁BF₂=60°，
即有a=|F₁F₂|=2c，
又長軸為4，即2a=4，
即有a=2，c=1，
又b²=a²-c²=3，
則有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)M（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），N（2cosβ，$\sqrt{3}$sinβ），
則S_△MON=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|sin＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$＞=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}＞}$
=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|•$\sqrt{1-（\frac{\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}|•|\overrightarrow{ON}|}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{OM}{|}^{2}•|\overrightarrow{ON}{|}^{2}-（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（3+co{s}^{2}α）（3+co{s}^{2}β）-（4cosαcosβ+3sinαsinβ）^{2}}$
=$\sqrt{3}$|sinαcosβ-cosαsinβ|=$\sqrt{3}$|sin（α-β）|，
即有△OMN的面積的最大值為$\sqrt{3}$，此時α-β=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
則有|OM|²+|ON|²=4cos²α+3sin²α+4cos²β+3sin²β
=3+cos²α+3+cos²β=6+cos²（kπ+$\frac{π}{2}$+β）+cos²β
=6+sin²β+cos²β=6+1=7．
則有△OMN面積最大時，OM²+ON²為一定值7．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式和正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．