Question

13．已知：過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，過A，B分別作拋物線的切線，且二者相交于點(diǎn)C．
（1）求證：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
（2）求△ABC的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．設(shè)AB：y=kx+1，代入拋物線方程得x²-4kx-4=0，由y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，可得y′=$\frac{1}{2}x$，分別得出直線AC，BC的方程聯(lián)立解得x₀=2k，y₀=-1．對(duì)k分類討論，k≠0時(shí)，可得k_AB•k_CF=-1，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；若k=0，即可得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
（2）由（1）知，點(diǎn)C到AB的距離d=|CF|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，利用拋物線定義可得：|AB|=|AF|+|FB|=y₁+y₂+2，可得$S=\frac{1}{2}|AB|•d$．

解答 （1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
設(shè)直線AB方程：y=kx+1，代入x²=4y得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
$y=\frac{1}{4}{x}^{2}$，y′=$\frac{1}{2}x$，
直線AC的方程為：$y-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}=\frac{1}{2}{x}_{1}（x-{x}_{1}）$，直線BC的方程為：$y-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}=\frac{1}{2}{x}_{2}（x-{x}_{2}）$，
聯(lián)立解得x₀=2k，y₀=-1．
①若k≠0，則k_CF=-$\frac{1}{k}$，
∴k_AB•k_CF=-1，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
②若k=0，$\overrightarrow{CF}$=（-2k，2），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，k（x₂-x₁）），$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CF}$=-2k（x₂-x₁）+2k（x₂-x₁）=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CF}$=0；
（2）解：由（1）知，點(diǎn)C到AB的距離d=|CF|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
|AB|=|AF|+|FB|=y₁+y₂+2=k（x₁+x₂）+4=4k²+4，
∴$S=\frac{1}{2}|AB|•d$=$4（{k}^{2}+1）^{\frac{3}{2}}$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，△ABC的面積的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線的切線、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．