Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{3}{8}$x²-2x+2+xf（x）．
（1）求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，求n的最大值；
（3）證明f（x）≤1-$\frac{1}{x}$在其定義域內(nèi)恒成立，并比較f（2²）+f（3²）+…+f（n²）與$\frac{（2n+1）（n-1）}{2（n+1）}$（n∈N^x且n≥2）的大�。�

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)y=g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）確定g（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上無零點，函數(shù)y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，只要考慮eⁿ＜$\frac{2}{3}$且f（eⁿ）≤0；
（3）要證明f（x）≤1-$\frac{1}{x}$，只要證明$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，只要證明lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：g（x）的定義域為（0，+∞），
∵g′（x）=$\frac{（3x-2）（x-2）}{4x}$，
∴由g′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{2}{3}$或x＞2；由g′（x）＜0，可得$\frac{2}{3}$＜x＜2，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{2}{3}$），（2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{2}{3}$，2）；
（2）解：∵g（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上的最小值為g（2），且g（2）=$\frac{ln4-1}{2}$＞0，
∴g（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上無零點．
函數(shù)y=g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，只要考慮eⁿ＜$\frac{2}{3}$且f（eⁿ）≤0，
∵g（e^-1）＞0，g（e^-2）＜0，
∴n≤-2且n∈Z時均有g(shù)（eⁿ）＜0，
∴g（x）在[eⁿ，e^-1]?[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零點，
∴n的最大值為-2；
（3）證明：要證明f（x）≤1-$\frac{1}{x}$，只要證明$\frac{lnx}{x}$≤1-$\frac{1}{x}$，
只要證明lnx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=lnx-x+1（x＞0），則h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=0得x=1，且x=1處有極大值（也是最大值），
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴l(xiāng)nx-x+1≤0在（0，+∞）上恒成立．
∴f（n²）≤1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴f（2²）+f（3²）+…+f（n²）≤（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=（n-1）-（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＜（n-1）-[$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=（n-1）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=（n-1）-（$\frac{1}{2}$--$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{（2n+1）（n-1）}{2（n+1）}$，
∴f（2²）+f（3²）+…+f（n²）＜$\frac{（2n+1）（n-1）}{2（n+1）}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．