Question

8．已知α，β滿足方程acosx+bsinx=c，其中a，b，c為常數(shù)，且a²+b²≠0，求證：當(dāng)α≠β時(shí)，4cos²$\frac{α}{2}$cos²$\frac{β}{2}$=$\frac{（a+c）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．

Answer 1

分析 由半角公式，所求證等式的左端=（1+cosα）（1+cosβ）=1+（cosα+cosβ）+cosαcosβ，利用韋達(dá)定理代入即可．

解答 證明：∵acosx+bsinx=c，
∴（bsinx）²=（c-acosx），
即b²（1-cos²x）=c²+a²cos²x-2accosx，整理得（a²+b²）cos²x-2accosx+c²-b²=0，
由韋達(dá)定理知cosα+cosβ=$\frac{2ac}{{a}^{2}+^{2}}$，cosα•cosβ=$\frac{{c}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴4cos²$\frac{α}{2}$cos²$\frac{β}{2}$=（1+cosα）（1+cosβ）=1+cosα•cosβ+cosα+cosβ=1+$\frac{{c}^{2}-^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$+$\frac{2ac}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{（a+c）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用．此題運(yùn)用了聯(lián)想類比的手法，由已知條件和上式中cosα+cosβ、cosαcosβ的組合結(jié)構(gòu)，我們聯(lián)想到韋達(dá)定理，進(jìn)而想到必須將acosx+bsinx=c轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次方程．