Question

2．已知橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（y≥0）和拋物線y²=-2$\sqrt{3}$x，斜率為$\sqrt{2}$的直線與橢圓相切且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)斜率為$\sqrt{2}$的直線與橢圓相切方程為：y=$\sqrt{2}$x+t（t＞0）．與橢圓方程聯(lián)立化為6x²+2$\sqrt{2}t$x+t²-4=0，（y≥0）．利用△=0，t＞0，解得t=$\sqrt{6}$．可得直線AB的方程為：y=$\sqrt{2}x$$+\sqrt{6}$．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
與拋物線方程聯(lián)立化為x²+3$\sqrt{3}$x+3=0．利用|AB|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：設(shè)斜率為$\sqrt{2}$的直線與橢圓相切方程為：y=$\sqrt{2}$x+t（t＞0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+t}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為6x²+2$\sqrt{2}t$x+t²-4=0，（y≥0）．
△=8t²-24（t²-4）=0，t＞0，解得t=$\sqrt{6}$．
∴直線AB的方程為：y=$\sqrt{2}x$$+\sqrt{6}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-2\sqrt{3}x}\\{y=\sqrt{2}x+\sqrt{6}}\end{array}\right.$，化為x²+3$\sqrt{3}$x+3=0．
∴x₁+x₂=-3$\sqrt{3}$，x₁x₂=3．
∴|AB|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{3×（27-4×3）}$=3$\sqrt{5}$．
故答案為：3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓相切性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．