Question

16．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]時，f（x）=x²
（1）求f（0）
（2）求f（$\frac{2015}{2}$）
（3）畫y=f（x）草圖
（4）求y=f（x）與y=log₅x圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）直接代值計算即可，
（2）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），得出f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，而f（$\frac{2015}{2}$）=f（504×2-$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），問題得以解決．
（3）根據(jù)函數(shù)的周期性畫出圖形即可
（4）再把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點，利用圖象直接得結(jié)論．

解答 解：（1）∵x∈[-1，1]時，f（x）=x²，
∴f（0）=0，
（2）∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期為2的周期性函數(shù)，
∴f（$\frac{2015}{2}$）=f（504×2-$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
（3）根據(jù)函數(shù)的周期性畫出圖形，如圖所示，
（4）再畫出y=y=log₅x圖象，
由圖可得y=f（x）與y=log₅x的圖象有4個交點．

點評 本題考查抽象函數(shù)圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期為2，并結(jié)合函數(shù)的圖象進行判斷，屬于中檔題．