Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x}$-alnx（a∈R），其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若f（x）=0的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，且滿足x₁x₂=2，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是{x|x＞0}，
f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[（x-1）（e^x-a）]，
由已知方程f′（x）=0有2個(gè)根，解得：x₁=1，x₂=lna，
于是x₁x₂=lna=2，解得：a=e²；
（2）由（1）得f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[（x-1）（e^x-a）]，（x＞0），
①0＜a≤1時(shí)，e^x＞a，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
②1＜a＜e時(shí)，令e^x=a，得x=lna∈（0，1），
由f′（x）＜0，解得：lna＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜lna或x＞lna，
故f（x）在（0，lna），（1，+∞）遞增，在（lna，1）遞減；
③當(dāng)a=e時(shí)，令e^x=a，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）遞增；
④a＞e時(shí)，令e^x=a，得x=lna∈（1，+∞），由f′（x）＜0，解得：1＜x＜lna，
由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞lna，
故f（x）在（0，1），（lna，+∞）遞增，在（1，lna）遞減；
綜上，0＜a≤1時(shí)，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
1＜a＜e時(shí)，f（x）在（0，lna），（1，+∞）遞增，在（lna，1）遞減；
a=e時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增；
a＞e時(shí)，f（x）在（0，1），（lna，+∞）遞增，在（1，lna）遞減．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．