Question

已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，
（1）求f（x）周期；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值時x的集合；
（3）求f（x）在[0，

π

4

]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得y=

2

sin（2x+

π

4

）+2，由周期公式可得；（2）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

，k∈Z時，函數(shù)取最大值，計(jì)算可得；（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

解x可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，和已知區(qū)間取交集可得．

解答： 解：（1）化簡可得y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=

1-cos2x

2

+sin2x+3×

1+cos2x

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴f（x）周期T=

2π

2

=π；
（2）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

，k∈Z時，函數(shù)取最大值

2

+2，
∴f（x）的最大值為

2

+2，取得最大值時x的集合為{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
取{x|kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z}和{x|0≤x≤

π

4

}的交集可得{x|0≤x≤

π

8

}，
∴函數(shù)的在[0，

π

4

]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

8

]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．