【題目】如圖,是一個半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體,平面與半圓柱的下底面共面,且, 為弧上(不與重合)的動點.
(1)證明: 平面;
(2)若四邊形為正方形,且, ,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)由平面,可得,由是上底面對應(yīng)圓的直徑,可得,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面;(2)以為坐標(biāo)原點,以 為軸,過作與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量垂直數(shù)量積為零,列方程組分別求出平面與平面的一個法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得面角的余弦值.
試題解析:(1)在半圓柱中, 平面,所以.
因為是上底面對應(yīng)圓的直徑,所以.
因為, 平面, ,所以平面.
(2)以為坐標(biāo)原點,以 為軸,過作與平面 垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示,
設(shè),則, , , , .
所以, .
平面的一個法向量.
設(shè)平面的一個法向量,則,令,則,
所以可取,所以.
由圖可知二面角為鈍角,所以所求二面角的余弦值為.
【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓: 的焦距與橢圓: 的短軸長相等,且與的長軸長相等,這兩個橢圓在第一象限的交點為,直線經(jīng)過在軸正半軸上的頂點且與直線(為坐標(biāo)原點)垂直, 與的另一個交點為, 與交于, 兩點.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域為,其中, 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于的方程在上有解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動. 為了了解本次競賽學(xué)生成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計. 按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動,設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)中得分在[80,90)的學(xué)生人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知橢圓,拋物線的焦點均在軸上, 的中心和的頂點均為原點,從, 上分別取兩個點,將其坐標(biāo)記錄于下表中:
3 | -2 | 4 | ||
0 | -4 |
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點,且線段的垂直平分線過定點,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓經(jīng)過拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點.
(1)求圓的方程;
(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于,兩點,若圓在,兩點處的切線互相垂直,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)F(x)=min{2|x1|,x22ax+4a2},
其中min{p,q}=
(Ⅰ)求使得等式F(x)=x22ax+4a2成立的x的取值范圍;
(Ⅱ)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a);
(ⅱ)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).
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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長度,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)把曲線的方程化為普通方程, 的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線, 相交于兩點, 的中點為,過點做曲線的垂線交曲線于兩點,求.
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