Question

17．已知球內(nèi)接圓錐的側(cè)面積為9$\sqrt{10}$π，體積為27π，則該球的體積為（　�。�

• A． $\frac{500π}{3}$
• B． 500π
• C． 100π
• D． $\frac{125π}{3}$

Answer 1

分析 利用球內(nèi)接圓錐的側(cè)面積為9$\sqrt{10}$π，體積為27π，求出球內(nèi)接圓錐的底面半徑，高，利用射影定理求出R，即可求出球的體積．

解答 解：設(shè)球內(nèi)接圓錐的底面半徑為r，高為h，則
∵球內(nèi)接圓錐的側(cè)面積為9$\sqrt{10}$π，體積為27π，
∴$πr•\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}$=9$\sqrt{10}$π，$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=27π，
∴r=3，h=9，∴母線為3$\sqrt{10}$
設(shè)球的半徑為R，則由射影定理可得（3$\sqrt{10}$）²=9（2R-9），∴R=5，
∴該球的體積為$\frac{4}{3}π•{5}^{3}$=$\frac{500π}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積，考查圓錐的側(cè)面積、體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出球的半徑是關(guān)鍵．