Question

17．在△ABC中，若cosA²+cosB²+cosc²=1，則三角形ABC的形狀是直角三角形．

Answer 1

分析 由已知可得：sin²A+sin²B+sin²C=2，而余弦定理，正弦定理結(jié)合可得：sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，利用倍角公式及和差化積公式化簡可得2sinAsinBcosC=2cosC（cosAcosB+sinAsinB），解得cosCcosAcosB=0，從而可判斷cosA、cosB、cosC之中至少有一個是0．即可得解．

解答 解：若cosA²+cosB²+cosc²=1，
3-（sin²A+sin²B+sin²C）=1，
sin²A+sin²B+sin²C=2，
而，sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，（余弦定理，正弦定理結(jié)合）
則有，2sin²A+2sin²B-2sinAsinBcosC=2，
則，2sinAsinBcosC=2sin²A+2sin²B-2
=-cos（2A）-cos2B=-2cos（A+B）cos（A-B）=2cosCcos（A-B）
=2cosC（cosAcosB+sinAsinB）
即，cosCcosAcosB=0，A+B+C=180°且A，B，C均大于0°．
所以：cosA、cosB、cosC之中至少有一個是0．
即：A、B、C 之中至少有一個是90°
故三角形ABC為直角△．
故答案為：直角三角形．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差化積公式，倍角公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，技巧性較強，屬于中檔題．