Question

橢圓C：

x2

3

+y²=1，直線l交橢圓C于A，B兩點．
（1）若l過點P（1，

1

3

）且弦AB恰好被點P平分，求直線l方程．
（2）若l過點Q（0，2），求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，利用中點弦的坐標(biāo)，求出直線的斜率，即得直線方程；
（2）設(shè)出直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程；
由此求出△AOB的面積表達(dá)式，求出它的最大值即可．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程得：

x12

3

+y22=1，

x22

3

+y22=1；
兩式作差得：

1

3

（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=

2

3

，
代入得k=

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴此弦所在的直線方程是y-

1

3

=-（x-1），
即x+y-

4

3

=0；…（5分）
（2）易知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+2，…（6分）
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y得（1+3k²）x²+12kx+9=0；…（7分）
令△=144k²-36（1+3k²）＞0，得k²＞1；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

；…（8分）
∴S_△AOB=|S_△POB-S_△POA|=

1

2

×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|，
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x₁x₂=(-

12k

1+3k2

)2-

36

1+3k2

=

36(k2-1)

(1+3k2)2

，…（10分）
設(shè)k²-1=t（t＞0），
∴(x1-x2)2=

36t

(3t+4)2

=

36

9t+ 16 t +24

≤

36

2 9t× 16 t +24

=

3

4

，…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)9t=

16

t

，即t=

4

3

，k²-1=

4

3

，k²=

7

3

時 等號成立，
此時△AOB面積取得最大值

3

2

．…（13分）

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，也考查了圓錐曲線中的最值問題，解題時應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，進(jìn)行解答，是難題目．