Question

2．已知點P（$\frac{3}{2}$，-1）在拋物線E：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線上，過點P作拋物線的切線，若切點A在第一象限，F(xiàn)是拋物線E的焦點，點M在直線AF上，點N在圓C：（x+2）²+（y+2）²=1上，則|MN|的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． 2
• D． 6$\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 利用已知條件求出拋物線方程，然后求出AF的方程，利用圓心到直線的距離求解|MN|的最小值．

解答 解：點P（$\frac{3}{2}$，-1）在拋物線E：x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線上，
可得p=2，拋物線方程為：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
設(shè)A（a，$\frac{1}{4}{a}^{2}$），
∴$\frac{{\frac{1}{4}a}^{2}+1}{a-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}a$，解得a=4，a=-1（舍去）．
切點坐標(biāo)（4，4），F(xiàn)（0，1），直線F的方程為：y-1=$\frac{3}{4}x$，即3x-4y+4=0．
點M在直線AF上，點N在圓C：（x+2）²+（y+2）²=1上，則|MN|的最小值就是圓心到直線的距離減去半徑，即：$\frac{|-6+8+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{（-4）}^{2}}}-1$=$\frac{1}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．