Question

18．已知函數(shù)f（x）=12lnx+3x²-18x+8a．
（1）若a=2，求f（x）的極大值和極小值；
（2）若對(duì)任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求得極值；
（2）對(duì)任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，即為對(duì)任意的x∈（0，4]，f（x）_max＜4a．求得f（x）在（0，4]上的最大值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=12lnx+3x²-18x+8a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{12}{x}$+6x-18
=$\frac{6（x-2）（x-1）}{x}$，
當(dāng)x＞2或0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（2，+∞）遞增；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）遞減．
即有f（x）在x=1處取得極大值，且為1，
在x=2處取得極小值，且為12ln2-8；
（2）對(duì)任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，
即為對(duì)任意的x∈（0，4]，f（x）_max＜4a．
由f（x）在（0，1），（2，4）遞增，在（1，2）遞減，
又f（1）=8a-15，f（2）=12ln2-24+8a，f（4）=12ln4-24+8a，
即有f（4）為最大值，
則4a＞12ln4-24+8a，
解得a＜6-3ln4．
則a的取值范圍是（-∞，6-3ln4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查求極值、最值的方法，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．