Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{4}{{a}_{n}}$）；
（I）若a₃=$\frac{41}{20}$，求a1的值；
（Ⅱ）若a₁=4，記b_n=|a_n-2|，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{4}{{a}_{n}}$），a₃=$\frac{41}{20}$，代入可得a₂，a₁．
（2）由a₁=4，a_n+1-2=$\frac{1}{2{a}_{n}}$$（{a}_{n}-2）^{2}$＞0；可得a_n＞2．a(chǎn)_n+1-a_n=$\frac{4-{a}_{n}^{2}}{2{a}_{n}}$＜0，{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列．進而得到a_n+1-2=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$（a_n-2）$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），
${a_n}-2≤{（\frac{1}{4}）^{n-1}}（{a_1}-2）=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{4}{{a}_{n}}$），a₃=$\frac{41}{20}$，
∴$\frac{41}{20}$=$\frac{1}{2}（{a}_{2}+\frac{4}{{a}_{2}}）$，解得a₂=$\frac{5}{2}$或$\frac{8}{5}$；…（2分）
當(dāng)${a_2}=\frac{5}{2}$時，解得a₁=1或4…（4分）
當(dāng)${a_2}=\frac{8}{5}$時，無解．
∴a₁=1或4．…（6分）
（2）∵a₁=4，a_n+1-2=$\frac{1}{2{a}_{n}}$$（{a}_{n}-2）^{2}$＞0；
∴a_n＞2．
∴a_n+1-a_n=$\frac{4-{a}_{n}^{2}}{2{a}_{n}}$＜0，
∴{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列．
∴2＜a_n＜4，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$，
a_n+1-2=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$（a_n-2）$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），
∴${a_n}-2≤{（\frac{1}{4}）^{n-1}}（{a_1}-2）=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（a₁-2）+（a₂-2）+…+（a_n-2）≤2+$\frac{2}{4}$+$2×（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$2×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=2+$\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$$＜\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．