Question

14．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一個頂點$A（0，\sqrt{3}）$，離心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E相切于點P，且與直線x=4相交于點Q．求證：以PQ為直徑的圓過定點N（1，0）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=e=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，從而求橢圓方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程消元，從而可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，從而可得m²=4k²+3，故m≠0；從而解出P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），再解出Q（4，4k+m）；證明$\overrightarrow{PN}$•$\overrightarrow{NQ}$=0即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得
$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=e=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
故a²=4，
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）證明：聯(lián)立方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與y=kx+m消元得，
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵曲線E與直線只有一個公共點，
∴△=0，化簡可得，
m²=4k²+3，故m≠0；              
設P（x_P，y_P），
故x_P=$\frac{-8km}{2（3+4{k}^{2}）}$=-$\frac{4k}{m}$，y_P=kx_P+m=$\frac{3}{m}$；
故P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，Q（4，4k+m）；
∵N（1，0），$\overrightarrow{PN}$=（1+$\frac{4k}{m}$，-$\frac{3}{m}$），$\overrightarrow{NQ}$=（3，4k+m）；
∴$\overrightarrow{PN}$•$\overrightarrow{NQ}$=3+$\frac{12k}{m}$-$\frac{12k}{m}$-3=0，
∴$\overrightarrow{PN}$⊥$\overrightarrow{NQ}$，
以PQ為直徑的圓過定點N（1，0）．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關系的判斷與應用，同時考查了學生的化簡運算能力．