Question

16．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷其奇偶性；
（2）討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=1時，在（1），（2）的得出的結(jié)論下，指出函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)性及最值，并畫出此時函數(shù)的大致圖象．

Answer 1

分析 （1）由分母不為0，可得函數(shù)的定義域，運用奇偶性的定義，即可判斷；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，由導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷單調(diào)性；
（3）由（1），（2）的結(jié)論，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，畫出圖象即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a≠0）的定義域為{x|x≠0，且x∈R}，
由f（-x）=-x+$\frac{a}{-x}$=-（x+$\frac{a}{x}$）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{a}$；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{a}$．
即有f（x）的增區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\sqrt{a}$）；
（3）函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$的增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-1），
減區(qū)間為（0，1），（-1，0），
當(dāng)x=1時，取得極小值，且為2；
當(dāng)x=-1時，取得極大值，且為-2．
圖象如右．

點評 本題考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性和奇偶性的判斷，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．