Question

6．設(shè)f（x）=（a-a²）4^x+2^x+1，當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，f（x）的圖象在x軸的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 x∈（-∞，1]時(shí)，函數(shù)f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的圖象在x軸的上方，可轉(zhuǎn)化成f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，然后將a分離出來(lái)，在利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出不等式另一側(cè)的最值，從而求出a的取值范圍．

解答 解：∵x∈（-∞，1]時(shí)，函數(shù)f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的圖象在x軸的上方，
∴f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，
∴a-a²＜$[（\frac{1}{2}）^{x}]^{2}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$在（-∞，1]上恒成立，
設(shè)$（\frac{1}{2}）^{x}$=t，
∵x∈（-∞，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴a-a²＜t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
∴a²-a＜$\frac{3}{4}$，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，常常利用參變量分離的方法，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．