Question

2．設(shè)F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，若|AB|=12，則p=（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 拋物線的方程可求得焦點坐標，進而根據(jù)斜率表示出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立消去y，進而根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦長公式表示出AB的長求得p．

解答 解：由題意可知過焦點的傾斜角為30°直線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
代入y²=2px可得：x²-7px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=7p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（7p）^{2}-4×\frac{{p}^{2}}{4}}$=4$\sqrt{3}$p，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×4$\sqrt{3}$p=12，
解得：p=$\frac{3}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．涉及直線與拋物線的關(guān)系時，往往是利用韋達定理設(shè)而不求．