Question

1．已知定義在R上的兩函數(shù)f（x）=$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{π}^{x}+{π}^{-x}}{2}$（其中π為圓周率，π=3.1415926…），有下列命題：
①f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)；
②f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）是R上的減函數(shù)；
③f（x）無最大值、最小值，g（x）有最小值，無最大值；
④對任意x∈R，都有f（2x）=2f（x）g（x）；
⑤f（x）有零點，g（x）無零點．
其中正確的命題有①③④⑤（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 可求得f（x）+f（-x）=0，g（x）-g（-x）=0，故①正確；
易知g（x）R上不可能是減函數(shù)，故②不正確；
可判斷f（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）左減右增；從而判斷；
化簡f（2x）=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，2f（x）g（x）=2•$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$•$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，故④成立；
易知f（0）=0，g（x）≥g（0）=1，故⑤正確．

解答 解：∵f（x）+f（-x）=$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$+$\frac{{π}^{-x}-{π}^{x}}{2}$=0，
g（x）-g（-x）=$\frac{{π}^{x}+{π}^{-x}}{2}$-$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=0，
∴f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，故①正確；
∵g（x）是偶函數(shù)，
∴g（x）R上不可能是減函數(shù)，故②不正確；
可判斷f（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）左減右增；
故f（x）無最大值、最小值，g（x）有最小值，無最大值，
故③正確；
f（2x）=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，
2f（x）g（x）=2•$\frac{{π}^{x}-{π}^{-x}}{2}$•$\frac{{π}^{-x}+{π}^{x}}{2}$=$\frac{{π}^{2x}-{π}^{-2x}}{2}$，
故④成立；
∵f（0）=0，∴f（x）有零點，
∵g（x）≥g（0）=1，∴g（x）沒有零點；
故⑤正確；
故答案為：①③④⑤．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．