Question

20．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一焦點(diǎn)F在拋物線y²=4x的準(zhǔn)線上，且點(diǎn)M（1，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)直線x=-2上任意一點(diǎn)P作橢圓E的切線，切點(diǎn)為Q，試問(wèn)：$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線方程求出其準(zhǔn)線，確定焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出橢圓中的c，再根據(jù)M點(diǎn)在橢圓上，求出橢圓方程；
（2）設(shè)出PQ直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△=0，求出P、Q坐標(biāo)，然后運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，
則F（-1，0），即c=1，即有a²-b²=1，
又M（1，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在橢圓上，
則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，解得a²=2，b²=1，
故橢E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)P（-2，y₀）、Q（x₁，y₁）．
依題意可知切線PQ的斜率存在，設(shè)為k，PQ：y=kx+m，
并代入方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1中，
整理得：（2k²+1）x²+4mkx+2（m²-1）=0，
因△=16m²k²-8（2k²+1）（m²-1）=0，即m²=2k²+1．
從而x₁=-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$，y₁=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$，
所以Q（-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
又y₀=-2k+m，則P（-2，-2k+m），$\overrightarrow{FP}$=（-1，m-2k），$\overrightarrow{FQ}$=（1-$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$）．
由于$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$=-1+$\frac{2mk}{1+2{k}^{2}}$+（m-2k）•$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-1=0．
即有$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$為定值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)與平面向量的知識(shí)結(jié)合考查學(xué)生的運(yùn)算能力，本題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高．