Question

8．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{3}$，θ∈（0，π），求sin2θcos2θ．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，結(jié)合θ的范圍及平方后所得結(jié)果進(jìn)一步確定θ的范圍，利用平方關(guān)系求出cos2θ，則答案可求．

解答 解：由sinθ+cosθ=$\frac{1}{3}$，θ∈（0，π），
兩邊平方得：$si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ=\frac{1}{9}$，
∴2sinθcosθ=$-\frac{8}{9}$，①
∵θ∈（0，π），可得θ∈（$\frac{π}{2}，π$），
結(jié)合sinθ+cosθ=$\frac{1}{3}$，可得θ∈（$\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}$），
則2θ∈（π，$\frac{3}{2}π$），
由①得，sin2θ=$-\frac{8}{9}$，則cos2θ=$-\sqrt{1-（-\frac{8}{9}）^{2}}=-\frac{\sqrt{17}}{9}$．
∴sin2θcos2θ=$-\frac{8}{9}×（-\frac{\sqrt{17}}{9}）=\frac{8\sqrt{17}}{81}$．

點(diǎn)評 本題考查二倍角的正弦和余弦，對角的范圍的確定是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．