【題目】已知以點(diǎn)C(t, )(t∈R,t≠0)為圓心的圓過(guò)原點(diǎn)O.
(1)設(shè)直線3x+y﹣4=0與圓C交于點(diǎn)M、N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,設(shè)B(0,2),且P、Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn),求|PQ|﹣|PB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:∵OM=ON,所以,則原點(diǎn)O在MN的中垂線上.

設(shè)MN的中點(diǎn)為H,則CH⊥MN,

∴C、H、O三點(diǎn)共線,

∵直線MN的方程是3x+y﹣4=0,

∴直線OC的斜率 = = ,解得t=3或t=﹣3,

∴圓心為C(3,1)或C(﹣3,﹣1)

∴圓C的方程為(x﹣3)2+(y﹣1)2=10或(x+3)2+(y+1)2=10

由于當(dāng)圓方程為(x+3)2+(y+1)2=10時(shí),圓心到直線3x+y﹣4=0的距離d>r,

此時(shí)不滿(mǎn)足直線與圓相交,故舍去,

∴圓C的方程為(x﹣3)2+(y﹣1)2=10


(2)解:在三角形PBQ中,兩邊之差小于第三邊,故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|

又B,C,Q三點(diǎn)共線時(shí)|BQ|最大

所以,|PQ|﹣|PB|的最大值為 ,

∵B(0,2),C(3,1),∴直線BC的方程為 ,

∴直線BC與直線x+y+2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣6,4)


【解析】(1)由OM=ON得原點(diǎn)O在MN的中垂線上,由圓的弦中點(diǎn)性質(zhì)和直線垂直的條件列出方程,求出t的值和C的坐標(biāo),代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡(jiǎn),再驗(yàn)證直線與圓的位置關(guān)系;(2)根據(jù)三邊關(guān)系判斷出取最大值的條件,由圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)距離最值問(wèn)題求出最大值,由點(diǎn)斜式方程求出BC的直線方程,以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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項(xiàng)目

生產(chǎn)成本

檢驗(yàn)費(fèi)/

調(diào)試費(fèi)

出廠價(jià)

金額

1000

100

200

3000

求每臺(tái)儀器能出廠的概率;

求生產(chǎn)一臺(tái)儀器所獲得的利潤(rùn)為1600元的概率注:利潤(rùn)出廠價(jià)生產(chǎn)成本檢驗(yàn)費(fèi)調(diào)試費(fèi)

假設(shè)每臺(tái)儀器是否合格相互獨(dú)立,記為生產(chǎn)兩臺(tái)儀器所獲得的利潤(rùn),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(1)若函數(shù)與函數(shù)處有相同的切線,求實(shí)數(shù)的值;

(2)若,且,證明:

(3)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍

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A.關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)
B.關(guān)于直線x=π對(duì)稱(chēng)
C.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱(chēng)
D.關(guān)于點(diǎn)( ,2)對(duì)稱(chēng)

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1)若具有局部等差數(shù)列,且,求

2)若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,,,判斷是否具有局部等差數(shù)列,并說(shuō)明理由;

3)設(shè)既具有局部等差數(shù)列,又具有局部等差數(shù)列,求證具有局部等差數(shù)列.

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A.
B.
C.
D.

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