Question

【題目】在平面直角坐標系 中，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系. 曲線 的極坐標方程為 ， 為曲線 上異于極點的動點，點 在射線 上，且 成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求點 的軌跡 的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知 , 是曲線 上的一點且橫坐標為 ，直線 與 交于 兩點，試求 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）設 ， ，
則由 成等比數(shù)列，可得 ，
即 ， ．
又 滿足 ，即 ，
∴ ，
化為直角坐標方程為 .
（Ⅱ）依題意可得 ，故 ，即直線 傾斜角為 ，
∴直線 的參數(shù)方程為
代入圓的直角坐標方程 ，
得 ，
故 ， ，
∴
【解析】本題考查的知識要點：參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線和圓的極坐標方程、參數(shù)方程等基礎知識，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想等．曲線的極坐標方程定義：如果曲線C上的點與方程f（ρ，θ）=0有如下關系:
（1）曲線C上任一點的坐標（所有坐標中至少有一個）符合方程f（ρ，θ）=0；
（2）以方程f（ρ，θ）=0的所有解為坐標的點都在曲線C上．
則曲線C的方程是f（ρ，θ）=0．
【考點精析】通過靈活運用參數(shù)方程的定義，掌握在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù)并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程即可以解答此題．