Question

10．設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c．且c²=2a²+b²，可導函數f（x）滿足xf′（x）＜2f（x），則（　�。�

• A． sin²A•f（sinB）＜sin²B•f（sinA）
• B． sin²A•f（sinA）＞sin²B•f（sinB）
• C． cos²B•f（sinA）＜sin²A•f（cosB）
• D． cos²B•f（sinA）＞sin²A•f（cosB）

Answer 1

分析 構造函數g（x），求出g（x）的導數，得到函數的單調性，從而判斷出答案即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$（0＜x＜1），
則g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵0＜x＜1，f′（x）＜2f（x），
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$＜0，
∴g（x）單調遞減，
∵c²=2a²+b²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{a}{2b}$＜0，
∴C是鈍角，∴A+B＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜sinA＜sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB＜1，
∴g（sinA）＞g（cosB），
∴$\frac{f（sinA）}{{sin}^{2}A}$＞$\frac{f（cosB）}{{cos}^{2}B}$，
∴cos²B•f（sinA）＞sin²A•f（cosB），
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造函數g（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．