Question

2．在△ABC中，點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，則$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$=（　�。�

• A． $\frac{3}{10}$
• B． $\frac{9}{20}$
• C． $\frac{6}{35}$
• D． $\frac{9}{35}$

Answer 1

分析 可作出圖形，并作$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，以AE，AF為鄰邊作平行四邊形AEPF，從而有$AE=\frac{3}{10}AB，PE=\frac{2}{5}AC$，這樣即可求出${S}_{△APE}=\frac{6}{50}{S}_{△ABC}$，而同理可以求得${S}_{△PDE}=\frac{9}{50}{S}_{△ABC}$，從而便可求得$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$的值．

解答 解：如圖，作$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，以AE，AF為鄰邊作平行四邊形AEPF；

∵E在AB上，$AE=\frac{3}{10}AB，PE=\frac{2}{5}AC$，且PE∥AC；
∴${S}_{△APE}=\frac{3}{10}•\frac{2}{5}{S}_{△ABC}=\frac{6}{50}{S}_{△ABC}$；
又$AE=\frac{3}{10}AB，AD=\frac{3}{4}AB$，∴$ED=\frac{9}{20}AB$，且$PE=\frac{2}{5}AC$，PE∥AC；
∴${S}_{△PDE}=\frac{9}{20}•\frac{2}{5}{S}_{△ABC}=\frac{9}{50}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△APD}=（\frac{6}{50}+\frac{9}{50}）{S}_{△ABC}=\frac{3}{10}{S}_{△ABC}$；
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{3}{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及三角形的面積公式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系．