Question

19．已知函數(shù)f（x）=ae^x+bxlnx圖象上x=1處的切線方程為y=2ex-e．
（Ⅰ）求實數(shù)a和b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）-ex²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求實數(shù)a和b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）-ex²的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值和最值關(guān)系即可求g（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ae^x+blnx+bx$•\frac{1}{x}$=ae^x+blnx+b，
則f′（1）=ae+b，
∵f（x）=ae^x+bxlnx圖象上x=1處的切線方程為y=2ex-e．
∴當(dāng)x=1時，y=2e-e=e，即切點坐標(biāo)為（1，e），
則切線斜率k=f′（1）=ae+b=2e，
f（1）=ae+bln1=ae=e，
得a=1，b=e；
（Ⅱ）∵a=1，b=e，∴f（x）=e^x+exlnx，x＞0，
則函數(shù)g（x）=f（x）-ex²=e^x+exlnx-ex²，
函數(shù)的定義域為（0，+∞），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=e^x+e（1+lnx）-2ex，①，
則g″（x）=e^x+$\frac{e}{x}$-2e，②，
令φ（x）=e^x-ex，則φ′（x）=e^x-e，由φ′（x）=e^x-e=0得x=1，
∴當(dāng)x＞1時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）遞減，
即當(dāng)0＜x≤1時，φ（x）≥φ（1）=0，
當(dāng)x＞1時，φ（x）＞φ（1）=0，
即對?x∈（0，+∞），都有φ（x）≥0，即e^x≥ex＞0，③，
由②③得當(dāng)x＞0時，g″（x）≥ex+$\frac{e}{x}$-2e≥2$\sqrt{ex•\frac{e}{x}}$-2e=0，
∴函數(shù)y=g′（x）在（0，+∞）上遞增，
∴當(dāng)0＜x≤1時，g′（x）≤g′（1）=0，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＞g′（1）=0，
即函數(shù)y=g（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增，
當(dāng)0＜x≤1時，g（x）≥g（1）=0，④，
當(dāng)x＞1時，g（x）＞g（1）=0，⑤，
由④⑤得?x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≥0，⑥，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，不等式⑥取等號，從而g（x）的最小值為0．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算推理能力．