Question

7．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BA⊥AD，AD=CD=2AB，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點(diǎn)，R是PB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：無(wú)論R在PB上的何處，恒有平面BEF⊥平面RCD；
（2）設(shè)PA=λAB，R為靠近P的一個(gè)三等分點(diǎn)，若平面DER與平面ABCD所成的角為60°，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BF⊥DC，DC⊥EB，從而DC⊥平面BEF，由此能證明無(wú)論R在PB上的何處，恒有平面BEF⊥平面RCD．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出實(shí)數(shù)λ的值．

解答 證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，BA⊥AD，AD=CD=2AB，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點(diǎn)，
∴AB$\underset{∥}{=}$DF，EB∥PA，∴AD∥BF，
∴EB⊥底面ABCD，BF⊥DC，
∴DC⊥EB，
∵BF∩EB=B，∴DC⊥平面BEF，
∵無(wú)論R在PB上的何處，恒有DC?平面RCD，
∴無(wú)論R在PB上的何處，恒有平面BEF⊥平面RCD．
解：（2）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=CD=2AB=2，
則P（0，0，λ），B（0，1，0），R（0，$\frac{1}{3}$，$\frac{2λ}{3}$），
C（2，2，0），E（1，1，$\frac{λ}{2}$），D（2，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，$\frac{λ}{2}$），$\overrightarrow{DR}$=（-2，$\frac{1}{3}，\frac{2λ}{3}$），
設(shè)平面DER的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+y+\frac{λ}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DR}=-2x+\frac{1}{3}y+\frac{2λ}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{3}{2}$，1，-$\frac{5}{λ}$），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面DER與平面ABCD所成的角為60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\frac{5}{λ}}{\sqrt{\frac{13}{4}+\frac{25}{{λ}^{2}}}}$，
解得λ=$\frac{10\sqrt{39}}{13}$或$λ=-\frac{10\sqrt{39}}{13}$（舍）．
∴實(shí)數(shù)λ的值為$\frac{10\sqrt{39}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．