Question

2．已知圓C：x²+y²=4，直線l：x=8，以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C與直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）已知P是l上一動點，線段OP交圓C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²．當(dāng)點P在l上移動時，求點Q在直角坐標(biāo)系下的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）通過將x=ρcosθ、y=ρsinθ 分別代入圓C、直線l方程即可；
（2）通過設(shè)點Q（x，y），P（4，t），利用OP、OQ斜率相等即得P（4，4×$\frac{y}{x}$），結(jié)合|OR|=2、利用|OQ|•|OP|=|OR|²計算即可．

解答 解：（1）將x=ρcosθ、y=ρsinθ 代入圓C：x²+y²=4，
可得：ρ²=4，
即圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ=2；
將x=ρcosθ、y=ρsinθ 代入直線l：x=8，
可得l的極坐標(biāo)方程為：ρcosθ=8；
（2）設(shè)點Q（x，y），P（4，t），顯然x＞0，
∵P、Q共線，
∴P、Q為同一角的終邊上，
∵直線l：x=8，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{t}{4}$，∴P（4，4×$\frac{y}{x}$），
又∵R在圓C：x²+y²=4上，
∴|OR|=2，
∵|OQ|•|OP|=|OR|²，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4y}{x}）^{2}}$=2²，
整理得：x²-x+y²=0，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$（x＞0），
∴點Q在直角坐標(biāo)系下的軌跡方程為：（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$（x＞0）．

點評 本題主要考查坐標(biāo)系與方程，直線、橢圓的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，軌跡的概念和求法，利用方程判定曲線的性質(zhì)等解析幾何的基本思想和綜合運用知識的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．