Question

11．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意和向量的數(shù)量積化簡$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}）$，求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的關(guān)系，再將式子$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|兩邊平方，化簡后可求出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，且$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}）$，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+3|\overrightarrow{a}{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}）$，化簡可得，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，
由$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|得，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|，
兩邊平方可得，${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$-\frac{1}{2}$，則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是$\frac{2π}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算的綜合應(yīng)用，以及結(jié)論：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=2（|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}）$，屬于中檔題．