如圖,四棱錐P-ABCD的底面是菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別是BC,PC的中點(diǎn),點(diǎn)H在PD上,且EH⊥PD,PA=AB=2.
(1)求證:EH∥平面PBA;
(2)求三棱錐P-AFH的體積.
考點(diǎn):直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)根據(jù)平面ABCD是菱形推斷出AD=AB,進(jìn)而根據(jù)PA=AB,推斷出PA=AD,利用∠B=60°判斷三角形ABC為等邊三角形,同時(shí)E為中點(diǎn)進(jìn)而可推斷出∠BAE=30°,進(jìn)而推斷出∠EAD=90°,通過PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,判斷出PA⊥AE,則可判定△PAE≌△DAE,推斷出PE=PD,根據(jù)EH⊥PD,推斷出H為PD的中點(diǎn),進(jìn)而利用FH∥CD∥AB,根據(jù)線面平行的判定定理知FH∥平面PAB,根據(jù)E,F(xiàn)分別為BC,PC的中點(diǎn)推斷EF∥AB,利用線面平行的判定定理推斷出EF∥平面PAB,進(jìn)而根據(jù)面面平行的判定定理知平面EFH∥平面PAB,最后利用面面平行的性質(zhì)推斷出EH∥平面PAB.
(2)根據(jù)F,H為中點(diǎn),VP-AFH=
1
4
VP-ACD,則三棱錐P-AFH的體積可求.
解答: (1)證明:∵平面ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∵PA=AB,
∴PA=AD,
∵AB=BC,∠B=60°,BE=EC,
∴∠BAE=30°,
∴∠EAD=90°,
∵PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴PA⊥AE,即∠PAE=90°,
∴△PAE≌△DAE,
∴PE=PD,
∵EH⊥PD,
∴H為PD的中點(diǎn),
∵FH∥CD∥AB,
∴FH∥平面PAB,
∵E,F(xiàn)分別為BC,PC的中點(diǎn)
∴EF∥AB,
∵AB?平面PAB,
∴EF∥平面PAB,
∵EF∩FH=H,EF?平面EFH,F(xiàn)H?平面EFH,
∴平面EFH∥平面PAB,
∵EH?平面EFH,
∴EH∥平面PAB.
(2)∵F,H為中點(diǎn),
∴VP-AFH=
1
4
VP-ACD=
1
4
1
3
1
2
•2•2•sin60°•2=
3
6
點(diǎn)評(píng):本題要考查了線面平行的判定定理,面面平行的判定定理及性質(zhì),三棱錐的體積等問題.考查了學(xué)生空間觀察能力和邏輯思維的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2,E是AB的中點(diǎn),F(xiàn)是DE的中點(diǎn),沿直線DE將△ADE翻折至△A′DE(如圖2),
(Ⅰ)取A′B的中點(diǎn)G,求證:EG∥面A′FC;
(Ⅱ)若使二面角A′-DE-B為60°,求二面角F-A′B-C的正切值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)α的定義域是[-1,+∞),其中常數(shù)α>0.
(1)若α>1,求y=f(x)的過原點(diǎn)的切線方程.
(2)當(dāng)α>2時(shí),求最大實(shí)數(shù)A,使不等式f(x)>1+αx+Ax2對(duì)x>0恒成立.
(3)證明當(dāng)α>1時(shí),對(duì)任何n∈N*,有1<
1
n
n+1
k=2
((
k-1
k
α+
α
k
)<α.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=12;數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+
1
2
bn=1.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}通項(xiàng)公式;
(2)記cn=
-2
an•log
bn
2
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,若Tn
m-2012
2
對(duì)一切n∈N*都成立,求最小正整數(shù)m.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,那么a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

平面直角坐標(biāo)系中,已知定點(diǎn)A1(-
7
,0),A2
7
,0),動(dòng)點(diǎn)B1(0,m),B2(0,
1
m
),(m∈R且m≠0),直線A1B1與直線A2B2的交點(diǎn)N的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)M(
4
3
,0)的直線l交軌跡C于P、Q兩點(diǎn),以PQ為直徑的圓與y軸相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C2:x2=2py(p>0)的通徑長為4,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
,且過拋物線C2的焦點(diǎn).
(1)求拋物線C2和橢圓C1的方程;
(2)過定點(diǎn)M(-1,
3
2
)引直線l交拋物線C2于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),分別過A、B作拋物線C2的切線l1,l2,且l1與橢圓C1相交于P,Q兩點(diǎn).記此時(shí)兩切線l1,l2的交點(diǎn)為點(diǎn)C.
①求點(diǎn)C的軌跡方程;
②設(shè)點(diǎn)D(0,
1
4
),求△DPQ的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的偶函數(shù),并且滿足f(x+2﹚=-
1
f(x)

(1)當(dāng)2≤x≤3時(shí),f(x)=x,試求f(105.5)的值;
(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-1 試求當(dāng)x∈﹙6,10﹚時(shí),f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中是映射的有
 
;其中一一映射的有
 

①A=N*,B={0,1,2,3,4},f:除以5的余數(shù);
②A={x|x≥0},B={y|y≥0},f:x→y=
x

③A=N*,B={-1,1,2,-2},f:x→(-1)x
④A=Z,B=R,f:x→
2
x

⑤A=N*,B=R,f:x→
x2

⑥A={平面α內(nèi)的圓},B={平面α內(nèi)的矩形},f:A中圓的內(nèi)接矩形.

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