Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，滿足a₁=1，S_n+1=2S_n+2n+1，n∈N₊．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過a₁=1、在S_n+1=2S_n+2n+1中令n=1，直接計算即得結(jié)論；
（2）通過S_n+1=2S_n+2n+1與S_n+2=2S_n+1+2（n+1）+1作差、整理可知a_n+2=2a_n+1+2，變形可知a_n+2+2=2（a_n+1+2），進而可知數(shù)列{a_n+2}是以3為首項、2為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+2n+1，
∴a₁+a₂=2a₁+2+1，
整理得：a₂=a₁+2+1=1+2+1=4；
（2）∵S_n+1=2S_n+2n+1，
∴S_n+2=2S_n+1+2（n+1）+1，
兩式相減得：a_n+2=2a_n+1+2，
整理得：a_n+2+2=2（a_n+1+2），
又∵a₂+2=4+2=6=2（1+2）=2（a₁+2）滿足上式，
∴數(shù)列{a_n+2}是以3為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=3•2^n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-2+3•2^n-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．