Question

2．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=$\sqrt{3}$CD=3．將△ABC沿BC的邊翻折，設點A在平面BCD上的射影為點M，若點M在△BCD內部（含邊界），則點M的軌跡的最大長度等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$；在翻折過程中，當點M位于線段BD上時，直線AB和CD所成的角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 點A的射影M的軌跡為CD的中位線，可得其長度；當點M位于線段BD上時，取BC中點為N，AC中點為P，可得∠MNP或其補角即為直線AB和CD所成的角，由已知數據和余弦定理可得．

解答 解：由題意可得點A的射影M的軌跡為CD的中位線，其長度為$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當點M位于線段BD上時，AM⊥平面ACD，取BC中點為N，AC中點為P，
∴∠MNP或其補角即為直線AB和CD所成的角，
則由中位線可得MN=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
又MP為RT△AMC斜邊AC的中線，故MP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查異面直線及其所成的角，理清翻轉前后的數值的關系是解決問題的關鍵，屬中檔題．