Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+a的圖象在與y軸交點處的切線方程為y=bx+1．
（I）求實數(shù)a，b的值；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$（m-1）x²-（2m²-2）x-1的極小值為-$\frac{10}{3}$，求實數(shù)m的值；
（Ⅲ）若對任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥t|x₁-x₂|恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用函數(shù)f（x）的圖象在與y軸交點為（0，a），求a的值，利用f′（0）=b，求實數(shù)a，b的值；
（II）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$（m-1）x²-（2m²-2）x-1的極小值為-$\frac{10}{3}$，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實數(shù)m的值；
（Ⅲ）對任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥t|x₁-x₂|恒成立，則t≤|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂）恒成立，利用導數(shù)的幾何意義，即可求實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）的圖象在與y軸交點為（0，a），∴a=1，
又f′（x）=x²+x-2，∴f′（0）=b=2     …（4分）
（II）由（I）得f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$•mx²-2m²x，
∴g′（x）=（x+2m）（x-m）
（1）當m=0時，g′（x）=x²≥0恒成立，不存在極值； …（6分）  
（2）當m＜0時，由g′（x）＞0得x＜m或x＞-2m，由g′（x）＜0得m＜x＜-2m．
∴g（x）在（-∞，m），（-2m，+∞）上單調(diào)遞增，在（m，-2m）單調(diào)遞減，
∴g（x）_極小值=g（-2m）=$\frac{10}{3}{m}^{3}$=-$\frac{10}{3}$，∴m=-1；…（8分）
（3）當m＞0時，由g′（x）＞0得x＜-2m或x＞m，由g′（x）＜0得-2m＜x＜m，
∴g（x）在（-∞，-2m），（m，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2m，m）單調(diào)遞減，
∴g（x）_極小值=g（m）=-$\frac{7}{6}{m}^{3}$=-$\frac{10}{3}$，∴m=$\frac{\root{3}{980}}{7}$．
綜上所述，實數(shù)m=-1或m=$\frac{\root{3}{980}}{7}$     …（10分）
（Ⅲ）對任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥t|x₁-x₂|恒成立，
則t≤|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|任意的x₁，x₂∈[-1，0]（x₁≠x₂）恒成立，
又在區(qū)間（-1，0）上一定存在x₀，使f′（x₀）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+1，∴f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
∵x∈[-1，0]，
∵f′（-1）=-2，f′（0）=-2，
∴t≤2…（12分）

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，有難度．