Question

7．如圖，函數(shù)y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求φ的值．
（Ⅱ）設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求tan∠MPN的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把點(diǎn)（0，1）代入函數(shù)解析式，即可求出φ的值；
（Ⅱ）根據(jù)題意，求出tan$\frac{1}{2}$∠MPN的值，再利用二倍角計(jì)算tan∠MPN的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=2sin（πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），
∴2sinφ=1，解得φ=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵P是y=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴令2sin（πx+$\frac{π}{6}$）=2，解得x=$\frac{1}{3}$；
令2sin（πx+$\frac{π}{6}$）=0，解得x=-$\frac{1}{6}$或x=$\frac{5}{6}$；
∴tan$\frac{1}{2}$∠MPN=$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{4}$，
tan∠MPN=$\frac{2tan\frac{1}{2}∠MPN}{1{-tan}^{2}\frac{1}{2}∠MPN}$=$\frac{2×\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了正切的二倍角公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．