Question

18．若關(guān)于x的不等式x²-ax+b＜0的解集為（1，2），求函數(shù)f（x）=（a-1）$\sqrt{x-3}$+（b-1）$\sqrt{4-x}$的最大值．

Answer 1

分析 由題意可得1，2是方程x²-ax+b=0的兩根，運用韋達定理可得a=3，b=2，即有f（x）=2$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{4-x}$，運用柯西不等式即可得到所求最大值．

解答 解：關(guān)于x的不等式x²-ax+b＜0的解集為（1，2），
可得1，2是方程x²-ax+b=0的兩根，
即有1+2=a，1×2=b，
解得a=3，b=2，
則函數(shù)f（x）=（a-1）$\sqrt{x-3}$+（b-1）$\sqrt{4-x}$=2$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{4-x}$，
由x-3≥0，4-x≥0可得3≤x≤4，
由柯西不等式可得，（2$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{4-x}$）²≤（4+1）（x-3+4-x），
即有2$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{4-x}$≤$\sqrt{5}$．
當2$\sqrt{4-x}$=$\sqrt{x-3}$，即為x=$\frac{19}{5}$∈[3，4]時，
f（x）取得最大值$\sqrt{5}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用柯西不等式，考查二次方程和二次不等式的轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．