Question

8．若三棱錐的一條棱長為x，其余棱長均為1，則該三棱錐的體積（　�。�

• A． 有最大值無最小值
• B． 有最小值無最大值
• C． 既有最大值又有最小值
• D． 既無最大值也無最小值

Answer 1

分析 由題意畫出三棱錐的圖形，取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)，求出AED的面積，然后求出棱錐的體積，再利用導(dǎo)數(shù)求得體積函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：由題意畫出棱錐的圖形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=x，
取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)
可知平面AED垂直BC，S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF
EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{{x}^{2}}{4}}$，
∴三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{1}{12}x$$\sqrt{3-{x}^{2}}$=$\frac{1}{12}$$\sqrt{3{x}^{2}-{x}^{4}}$，
由3-x²＞0，得0$＜x＜\sqrt{3}$，
V′=$\frac{1}{2}$$\frac{6x-4{x}^{3}}{12\sqrt{3{x}^{2}-{x}^{4}}}$=$\frac{3x-2{x}^{3}}{12\sqrt{3{x}^{2}-{x}^{4}}}$，
由3x-2x³=0，得$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
當x∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）時，V′＞0，當x∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}，+∞$）時，V′＜0，
∴V=$\frac{1}{12}$$\sqrt{3{x}^{2}-{x}^{4}}$有最大值而無最小值，
故選：A．

點評 本題考查棱錐的體積，考查空間想象能力，計算能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．