Question

16．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，BC=3，AB=B₁C=5，點D是線段AB的中點，四邊形ACC₁A₁為正方形．
（1）求證：AC₁∥平面B₁CD；
（2）求三棱錐D-B₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC₁中點M，由中位線定理可得AC₁∥DM，故而AC₁∥平面B₁CD；
（2）由勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由正方形的性質(zhì)得出AC⊥CC₁，故而AC⊥平面BCC₁B₁，于是D到平面BCC₁B₁的距離d=$\frac{1}{2}AC$，利用勾股定理求出CC₁，得出棱錐的底面積S${\;}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$，代入棱錐的體積公式計算．

解答 解：（1）連結(jié)BC₁，交B₁C于點M，則M為BC₁的中點，連結(jié)DM．
∵D是AB的中點，
∴AC₁∥DM，
又AC₁?平面B₁CD，DM?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）∵AC=4，BC=3，AB=5，
∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥BC．
∵四邊形ACC₁A₁為正方形，∴AC⊥CC₁，
又BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁．
∵D是AB的中點，
∴D到平面BCC₁B₁的距離d=$\frac{1}{2}AC$=2．
∵CC₁=$\sqrt{{B}_{1}{C}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴S${\;}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{2}BC•C{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×3×4=6$．
∴V${\;}_{D-{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}$•d=$\frac{1}{3}×6×2$=4．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．